¿Que sabes de...?: DESAFIOS ACADEMICOS 8 Y 9

Desafio académico No.8

Considérense las siguientes expresiones :
• " x es más grande que 3" (7, 2, 5, 9, 0, ...)
• " x es médico" (Santiago, Pedro, Luis, Mario, Juan,...)
• " x es el mejor equipo del mundo" (Barcelona, Real Madrid,Valencia,...)

Aspectos importantes previos para resolver los ejercicios.

1.    x es una variable la cual indica que el sujeto o término cumple cierta propiedad.

2.    El predicado "es más grande que 3", "es médico", “es el mejor equipo del mundo”, se refiere a la propiedad que el sujeto tiene sobre la acción.

3.    La expresión no puede considerarse como una proposición puesto que no son ni verdadera ni falsa.

4.    x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto dominio (Universo del discurso).

5.    Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de Funciones Proposicionales, y se denotan por P(x) o Q(x), ..., etc.

6.    Cuando en una Función Proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición.

7.    Se utilizan las letras x, y, z, w, ...,para denotar las variables.

8.    Se pueden tener expresiones que envuelvan más de una variable "x = y + 3", entonces podemos tener expresiones como Q(x,y)

Q(x, y) : " x = y + 3"
P(x, y, z) : "x = y + z"
Una expresión de con n variables x1, x2, ..., xn puede ser denotada por P(x1, x2, x3, ..., xn).

9. La funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones
proposicionales por medio de los conectivos.

Ejemplo: "x es un número racional y z es un número irracional". Se puede simbolizar como:

P(x) : "x es un número racional"

Q(z) : "z es un número racional"

P(x) ® Q(z)

Definición: Un Predicado es una afirmación, proposición, constituido por constantes aritméticas y booleanas (números enteros, reales, y los valores lógicos verdadero y falso), operadores aritméticos, (/,*, +, etc), operadores relacionales (<, >, =, >=, etc), operadores lógicos ( →, ^, V, etc).

Resuelva :

Ejercicios 1. Simbolizar las siguientes expresiones:

• Fulano es muy generoso.
  P(x)

• x es par y 6 también.
  P(x,6)

• x e y son impares.
I(x,y)

• 2 es un número par y primo.
   P(2) ^ Q(2)

• x es primo impar menor que 10.
   P(x) < 10    ó     P(3,5,7) < 10

• x divide a z y w.
   P(x) = z/x             Q(x) = y/x
   P(x) ^ Q(x)

Desafio académico No.9

Las expresiones:
Todo hombre es mortal.
Algunos hombres son sabios.

Pueden traducirse respectivamente como:
Para todo x, si x es hombre entonces x es mortal.
Existe un x, tal que x es hombre y x es sabio.

Otros giros utilizados para la expresión "para todo x", son:
Todo x
Cualquiera x

Cada x

Que se simbolizan por:

y se llama cuantificador universal.

Otros giros utilizados para la expresión "Existe un x" son:
Hay x
Existe x, tal que
Algún x
Algunos x

Que se simbolizan por:

y se llama cuantificador existencial.

Existen tres formas de convertir una función proposicional P(x) en una proposición a saber:

• Haciendo la sustitución de las variables por un término específico.
• Anteponiendo la expresión "para todo x" o cuantificador universal.
• Anteponiendo la expresión "existe al menos un x" o cuantificador existencial.

El enunciado "existe almenos un x tal que P(x)" se representa como:

$xP(x) (x es ligada al cuantificador)

El enunciado "para todo x, P(x)" se representa como:

"xP(x) (x es ligada al cuantificador)

"xP(x) es verdadera cuando todos los x1, x2,..., xn se cumplan en P(x1) Ù P(x2) Ù ... P(xn) es verdadero.