¿Que sabes de...?: DASAFIOS ACADEMICOS 10

Desafio Académico No. 10.

Elabora un algoritmo y un flujograma, utilizando la regla de Cramer,para solucionar el siguiente problema:

Problema: En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?

Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas;

Información necesaria:

1. Método de sustitución. ►

Consiste en despejar en una de las ecuaciones una incógnita. Posteriormente se sustituye su valor en la otra y se calcula. Finalmente se vuelve a la ecuación despajada para hallar el valor de la incógnita que queda.

2. Método de igualación. ►

Se despeja la misma variable en las dos ecuaciones. Se igualan sus valores y se obtiene el valor de una variable, luego se sustituye en una de las ecuaciones despejadas y se halla el valor de la otra.

3. Método de reducción. ►

Consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones por números convenientes de tal forma que al "sumar" luego las ecuaciones se vaya una de las variables. Así se puede obtener el valor de la otra. Una vez obtenido,volvemos a una de las ecuaciones originales y en ella calculamos la variable que nos queda.

4. Regla de Cramer

RESOLUCION DEL PROBLEMA.
X = Conejos Y = Patos
Para obtener cuantas cabezas resulta esta ecuacion:
X + Y = 18
Para obtener cuantas patas resulta esta ecuacion:
4X + 2Y = 52

Despejamos Incógnita:
X = 18 - Y

Sustituimos las Ecuaciones obtenidas en la segunda ecuación:

4(18 - Y) + 2Y = 52                        X = 18 - 10
72 - 4Y + 2Y = 52                          X = 8
72 - 2Y = 52
2Y = 72 - 52
Y = 20/2
Y = 10
Solución:
Conejos = 8        Patos = 10

X + Y = 8(Conejos) + 10(Patos) = 18(Cabezas)
4X + 2Y = 4(8)Patas de conejo + 2(10)Patas de pato = 52(Patas)

Utilizando la Regla de Cramer, y con las formulas obtenidas anteriormente trabajamos así:
Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.

El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que el valor del determinante es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.

Así si partimos del sistema: